U.1 Termo Geral de uma Sucessão

Uma sucessão é uma função cujo domínio é ℕ. O termo geral uₙ define a regra de cada termo.

• Explícita: uₙ = f(n)
• Recorrência: u₁ = a, uₙ₊₁ = f(uₙ)

U.2 Limite de uma Sucessão

Técnica: divide numerador e denominador pela maior potência de n.

• Grau num = grau den → rácio dos coeficientes
• Grau num < grau den → 0
• Grau num > grau den → ±∞

U.3 Sucessões Especiais e Número de Euler

PA: uₙ = u₁ + (n-1)r. PG: uₙ = u₁·qⁿ⁻¹

Euler: lim (1 + 1/n)ⁿ = e ≈ 2,71828

Série geométrica convergente: S = a/(1-r), se |r| < 1.

C.1 Continuidade de uma Função

f é contínua em x=a se: (1) f(a) existe, (2) limite existe, (3) limite = f(a). Para funções por ramos, calcular limites laterais.

Para encontrar k que garante continuidade: k = lim_{x→a} f(x).

C.2 Limites e Indeterminações

Indeterminação 0/0: factorizar e simplificar antes de substituir. Indeterminação ∞/∞: divide pela potência mais alta.

Raiz quadrada no denominador com 0/0: multiplica pelo conjugado.

C.3 Teorema de Bolzano-Cauchy

Enunciado: Se f é contínua em [a,b] e f(a)·f(b) < 0, então existe pelo menos um c ∈ ]a,b[ tal que f(c) = 0.

Estrutura obrigatória da resposta no exame:

• Passo 1: Afirmar continuidade de f em [a,b] com justificação (ex: "polinomial", "quociente de contínuas com denominador ≠ 0")
• Passo 2: Calcular f(a) e f(b), verificar que têm sinais opostos (f(a)·f(b) < 0)
• Passo 3: Concluir: "pelo Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c ∈ ]a,b[ tal que f(c) = 0"

Atenção: Omitir qualquer passo custa pontos. A estrutura é tão importante quanto o cálculo.

C.4 Assíntotas

Horizontal: y = lim f(x) quando x→±∞. Se grau(num) = grau(den) → rácio coef. Se grau(num) < grau(den) → y=0.

Vertical: x=a onde f não é contínua e pelo menos um limite lateral é ±∞.

Oblíqua: existe quando grau(num) = grau(den)+1. Faz divisão inteira: f(x) = (mx+b) + resto.

F.1 Regras de Derivação

• (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
• (eˣ)' = eˣ
• (ln x)' = 1/x
• (u+v)' = u' + v'
• (uv)' = u'v + uv' (produto)
• [f(g(x))]' = f'(g(x))·g'(x) (cadeia)

F.2 Monotonia, Extremos e Optimização

f'(x)=0 → pontos críticos. f'>0 → crescente; f'<0 → decrescente. + para - → máximo; - para + → mínimo.

f''<0 → côncava ∩; f''>0 → côncava ∪. f''=0 e muda sinal → ponto de inflexão.

Optimização: define função, deriva, iguala a zero, verifica com f''.

I.1 Primitivas Imediatas

• ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n≠-1)
• ∫(1/x) dx = ln|x| + C
• ∫eˣ dx = eˣ + C
• ∫eᵃˣ dx = eᵃˣ/a + C
• ∫cos x dx = sin x + C
• ∫sin x dx = -cos x + C

I.2 Integral Definido e Área

Teorema Fundamental: ∫ₐᵇf(x)dx = F(b) - F(a). SEMPRE subtrai F(a) a F(b).

Integral ≠ Área quando f<0. Área = |∫f| quando f≤0. Para área entre curvas: ∫(superior - inferior).

G.1 Vectores e Produto Interno

u·v = a×d + b×e + c×f = |u||v|cos(θ). Perpendicularidade: u⊥v ⟺ u·v = 0.

G.2 Números Complexos

z = a+bi. |z| = √(a²+b²). Forma polar: z = r(cosθ + i sinθ). De Moivre: zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). Multiplicar por i soma π/2 ao argumento.

P.1 Combinatória

C(n,k) = n!/(k!(n-k)!). Arranjos A(n,k) = n!/(n-k)!. Permutações: n!.

Triângulo de Pascal: 2.º e penúltimo elem. da linha n são ambos n.

P.2 Probabilidade Condicionada e Bayes

P(A|B) = P(A∩B)/P(B). Independência: P(A∩B) = P(A)×P(B). Bayes: P(A|C) = P(C|A)×P(A)/P(C).

X.1 Forma Algébrica e Operações

Um número complexo escreve-se como $z = a + bi$, onde $a = \text{Re}(z)$ e $b = \text{Im}(z)$.

• Conjugado: $\bar{z} = a - bi$ (troca sinal da parte imaginária)
• Módulo: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ (distância do afixo à origem)
• Propriedade: $z \cdot \bar{z} = |z|^2$ (sempre real e positivo)
• Soma: $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$ — componente a componente
• Produto: FOIL, com $i^2 = -1$

Potências de $i$: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$ (ciclo de 4). Para $i^n$: calcula $n \mod 4$.

X.2 Forma Polar e Plano Complexo

O afixo de $z = a+bi$ é o ponto $A(a,b)$ no plano de Argand-Gauss.

Forma polar: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$, onde:

• $r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}$ (módulo)
• $\theta = \arg(z)$ (argumento — ângulo com o semieixo real positivo)

Argumento por quadrante:

• 1.º quadrante: $\theta = \arctan(b/a)$
• 2.º quadrante: $\theta = \pi - \arctan(|b/a|)$
• 3.º quadrante: $\theta = \pi + \arctan(|b/a|)$ (ou $-\pi + \arctan(|b/a|)$)
• 4.º quadrante: $\theta = 2\pi - \arctan(|b/a|)$ (ou $-\arctan(|b/a|)$)

Multiplicar por $i$ = somar $\pi/2$ ao argumento (rotação de 90° no plano complexo).

X.3 Fórmula de De Moivre

$[r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$

Aplicação: escreve $z$ em forma polar, aplica De Moivre, converte de volta para algébrica.

Casos especiais úteis:

• Se $n\theta = 2k\pi$ → resultado é $r^n$ (real puro)
• Se $n\theta = \pi/2 + 2k\pi$ → resultado é $r^n \cdot i$ (imaginário puro)

X.4 Equidistância e Localização no Plano

O afixo de $z$ equidistante de $z_1$ e $z_2$: impõe $|z-z_1| = |z-z_2|$, eleva ao quadrado e resolve.

Para somar complexos em forma polar: converte SEMPRE para forma algébrica primeiro — não somas módulos nem argumentos.

E.1 Regressão Linear

Reta: ŷ = ax + b. Coeficiente r ∈ [-1,1]: |r| próximo de 1 → correlação forte. Para estimar: substitui x na equação.